Ejercicios relacionados a las carreras

Gallardo Valdez José Jhovan

Ingeniería Mecatrónica

Variable discreta

Se evalúa un nuevo proceso para la fabricación de partes moldeadas en plástico en términos de la coloración y reducción del tamaño. Una de las primeras corridas del proceso proporciona la información para el espacio muestral y las probabilidades que aparecen en la tabla.

Supóngase que el interés recae en resumir los resultados de este experimento aleatorio con el número de características (de coloración y reducción de tamaño) que son aprobadas.

Por lo cual, se define una variable aleatoria, X, para ser igual al número de características aprobadas.

La cuarta columna de la tabla contiene los valores de X asignados a cada resultado del experimento. Por ejemplo al resultado (aprobado, aprobado) se le asigna x=2.

Coloración	Reducción del tamaño	Probabilidad	x
Aprobado	Aprobado	0.64	2
Aprobado	Inaceptable	0.16	1
Inaceptable	Aprobado	0.16	1
Inaceptable	Inaceptable	0.04	0

a) Especificar el modelo analítico o bien el tabular si el analítico no existe.

x	f(x)
0	0.04
1	0.32
2	0.64

x	F(x)
0	0.04
1	0.36
2	1

b) Graficar la fdp y la FDA

c) Calcular algunas probabilidades de acuerdo a lo que les interese averiguar en el problema.

d) Calcular todas las medidas descriptivas.

Variable continua

Sea la variable aleatoria continua X el diámetro de un agujero taladro en una placa de metal. El diámetro requerido es 12.5 milímetros, pero muchas perturbaciones aleatorias en el proceso dan como resultado diámetros más grandes. La recopilación de datos indica que la distribución de X puede modelarse con la función de densidad de probabilidad , x≥12.5. Se sabe que se desechan las piezas que tienen un diámetro mayor que 12.60 milímetros.

a) Especificar el modelo analítico o bien el tabular si el analítico no existe.

b) Graficar la fdp y la FDA

c) Calcular algunas probabilidades de acuerdo a lo que les interese averiguar en el problema.

d) Calcular todas las medidas descriptivas.

Referencias:
Montgomery, D. y Runger, G. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. México: McGRAWHILL. (págs. 100, 162).

GUTIERREZ OSEGUERA ALEJANDRA

INGENIERÍA PETROLERA

VARIABLE  ALEATORIA DISCRETA:

Ejemplo 1:

De acuerdo con la experiencia obtenida en el análisis de cierto tipo de suelo, se ha observado que el 32% de los materiales encontrados corresponden a gránulos y arenas, y el 68% a limos y arcillas. Si seleccionamos dos muestras al azar de ese tipo de suelo y de cada una de ellas se toma una muestra y se clasifica como “gránulos o arenas (a) o “limos o arcillas” (l) , construya una función de probabilidad del número de limos encontrados.

SOLUCIÓN:

El espacio muestral asociado al experimento es : S= {(a,a),(a,l),(l,a),(l,l)}

Si X es la va. De numero de limos encontrados.

El rango de la variable es R={0,1,2}.Construyendo la función de probabilidad:

P(X=0) = 0.32*0.32 = 0.1024

P(X= 1 ) =P (( a,l), (l,a)) = 0.32*0.68 + 0.68*0.32=0.4352

P(X=2) = P (l,l) = 0.68*0.68= 0.4624

Si se tabula:

x	0	1	2
fx(x)	0.1024	0.4352	0.4624

 Ejemplo 2: para cantidad de pozos petroleros productivos en una zona geográfica específica.

Una compañía de exploración de hidrocarburos cuenta con capital suficiente para financiar 10 proyectos de exploración. Si se supone que las exploraciones son independientes y se sabe que la probabilidad de que una exploración en particular sea exitosa es de 0.13, se desea conocer la media y la varianza del número de proyectos de exploración que serán exitosos:

SOLUCIÓN

Para responder estas preguntas, es necesario empezar por definir una variable aleatoria adecuada al experimento, por lo que llamaremos Y a la v.a. que representa al número de proyectos de exploración exitosos, que habrá entre los 10 proyectos emprendidos.

Claramente, la variable aleatoria Y tiene la forma “numero de éxitos en n ensayos independientes”, por lo que podemos concluir que la distribución de esta variable es binomial ( dos resultados posibles: éxito y fracaso), y sus parámetros son n=10 ensayos, que son los proyectos que se emprenderán, y p = 0.13 que es la probabilidad de que sea exitosos cada uno de ellos.

Sabemos que la media y la varianza de una distribución binomial con parámetros n y p son E(X) = =n p y Var (X) = =npq , respectivamente.

Por lo tanto, la media y la varianza del número de proyectos de exploración que serán exitosos son, respectivamente

E(Y)=10(0.13)=1.3

Var(Y)= 10(0.13)(0.87)=1.131

De donde la desviación estándar es =1.063

La conclusión es que no se deberían emprender los proyectos mencionados, ya que la inversión es muy elevada y la probabilidad de que sean exitosos tan baja, que se esperaría tener éxito solamente entre 1 y 2 de ellos

Mas aun, la probabilidad de encontrar mas de dos proyectos exitosos es

Muy pequeña, apenas del 13%

Por lo tanto, no parece rentable.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Ejemplo para cálculo de cantidad petróleo se puede extraer en un pozo en un determinado periodo de tiempo.

Uno de los pozos localizados en  Chicontepec puede extraer hasta  el equivalente a 10, 000 barriles de crudo por mes. La cantidad de hidrocarburo extraido en un mes es una variable  aleatoria Y (expresada en diez mil barriles), con una función de densidad de probabilidad dada por

a)    Trazar la gráfica f_y (y)

b)   Obtener F_y(y) y construir su gráfica

c)    Calcular la probabilidad de que se bombee entre 5000 y 12000 barriles en un mes

d)   Si se sabe que se han extraido  mas de 10000 barriles en un mes en particular, obtener la probabilidad de que se haya extraido mas de 15000 barriles en un mes

SOLUCIÓN: